与えられた数列の初項から第$n$項までの和を求める問題です。数列は2つあり、それぞれ以下の通りです。 (1) $\frac{1}{1\cdot 3}, \frac{1}{2\cdot 4}, \frac{1}{3\cdot 5}, \dots$ (2) $1, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \dots$

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第$n$項までの和を求める問題です。数列は2つあり、それぞれ以下の通りです。

(1) $\frac{1}{1\cdot 3}, \frac{1}{2\cdot 4}, \frac{1}{3\cdot 5}, \dots$

(2) $1, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列$\frac{1}{1\cdot 3}, \frac{1}{2\cdot 4}, \frac{1}{3\cdot 5}, \dots$の第$n$項$a_n$は、

$a_n = \frac{1}{n(n+2)}$と表されます。

部分分数分解を用いて、

$a_n = \frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})$と変形できます。

したがって、初項から第$n$項までの和$S_n$は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

$= \frac{1}{2}\{(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})\}$

$= \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2})$

$= \frac{1}{2}(\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)})$

$= \frac{1}{2}(\frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)})$

$= \frac{3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{3n^2 + 5n}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

(2) 数列$1, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \dots$の第$n$項$a_n$は、

$a_1 = 1$

$a_n = \frac{1}{1+2+3+\dots+n} = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)}$ (for $n\ge2$)

と表されます。

部分分数分解を用いて、$a_n = 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$と変形できます。

初項から第$n$項までの和$S_n$は、

$S_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} a_k = 1 + \sum_{k=2}^{n} 2(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$= 1 + 2\{(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})\}$

$= 1 + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}) = 1 + 1 - \frac{2}{n+1} = 2 - \frac{2}{n+1} = \frac{2n+2-2}{n+1} = \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

(2) $\frac{2n}{n+1}$