次の和 $S$ を求める問題です。 (1) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求める問題です。

(1) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

2. 解き方の手順

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \cdots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

$S - \frac{1}{3}S = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{3}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{4}{3^3} - \frac{3}{3^3}) + \cdots + (\frac{n}{3^{n-1}} - \frac{n-1}{3^{n-1}}) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}}$ は初項1、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列の和なので、

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

したがって、

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3^n} - \frac{n}{3^n} = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{3(3 + 2n)}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9 + 6n}{4 \cdot 3^n} = \frac{9 \cdot 3^n - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9}{4} - \frac{6n+9}{4 \cdot 3^n}$

または

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$