数列$\{a_n\}$は、すべての正の整数 $n$ に対して $0 \le 3a_n \le \sum_{k=1}^{n} a_k$ を満たしているとする。このとき、すべての $n$ に対して $a_n = 0$ であることを証明する。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$は、すべての正の整数 $n$ に対して $0 \le 3a_n \le \sum_{k=1}^{n} a_k$ を満たしているとする。このとき、すべての $n$ に対して $a_n = 0$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $n = 1$ のとき:

与えられた条件より、 $0 \le 3a_1 \le \sum_{k=1}^{1} a_k = a_1$ が成り立つ。

したがって、 $0 \le 3a_1 \le a_1$。

この不等式より、$3a_1 \le a_1$。

$2a_1 \le 0$ となり、$a_1 \le 0$ を得る。

しかし、$0 \le 3a_1$ より、$a_1 \ge 0$ である。

よって、$a_1 = 0$。

(2) $n = m$ ($m \ge 1$) のとき、$a_1 = a_2 = \dots = a_m = 0$ であると仮定する。

$n = m + 1$ のときを考える。

与えられた条件より、$0 \le 3a_{m+1} \le \sum_{k=1}^{m+1} a_k$ が成り立つ。

$\sum_{k=1}^{m+1} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + a_{m+1}$ である。

帰納法の仮定より、$a_1 = a_2 = \dots = a_m = 0$ なので、$\sum_{k=1}^{m} a_k = 0$ である。

したがって、$0 \le 3a_{m+1} \le 0 + a_{m+1} = a_{m+1}$ が成り立つ。

この不等式より、$3a_{m+1} \le a_{m+1}$。

$2a_{m+1} \le 0$ となり、$a_{m+1} \le 0$ を得る。

しかし、$0 \le 3a_{m+1}$ より、$a_{m+1} \ge 0$ である。

よって、$a_{m+1} = 0$。

(1), (2) より、数学的帰納法によって、すべての正の整数 $n$ に対して $a_n = 0$ である。

3. 最終的な答え

すべての $n$ に対して $a_n = 0$