与えられた画像には2つの三角関数の問題があります。 (3) $2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$ ($0 \le \theta < 2\pi$) を解く。 (4) $2\cos^2\theta - \sin\theta > 2$ ($0 \le \theta < 2\pi$) を解く。

1. 問題の内容

与えられた画像には2つの三角関数の問題があります。

(3) $2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$ ($0 \le \theta < 2\pi$) を解く。

(4) $2\cos^2\theta - \sin\theta > 2$ ($0 \le \theta < 2\pi$) を解く。

2. 解き方の手順

(3) $2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$ の解き方：

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて $\sin^2\theta$ を $\cos\theta$ で表します。

$2(1 - \cos^2\theta) - \cos\theta - 1 = 0$

$2 - 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$

$-2\cos^2\theta - \cos\theta + 1 = 0$

$2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = 0$

$(\cos\theta + 1)(2\cos\theta - 1) = 0$

したがって、$\cos\theta = -1$ または $\cos\theta = \frac{1}{2}$。

$\cos\theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$。

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$。

(4) $2\cos^2\theta - \sin\theta > 2$ の解き方：

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて $\cos^2\theta$ を $\sin\theta$ で表します。

$2(1 - \sin^2\theta) - \sin\theta > 2$

$2 - 2\sin^2\theta - \sin\theta > 2$

$-2\sin^2\theta - \sin\theta > 0$

$2\sin^2\theta + \sin\theta < 0$

$\sin\theta(2\sin\theta + 1) < 0$

したがって、$\sin\theta$ と $2\sin\theta + 1$ の符号が異なる必要があります。

ケース1: $\sin\theta > 0$ かつ $2\sin\theta + 1 < 0$。

この場合、$\sin\theta > 0$ かつ $\sin\theta < -\frac{1}{2}$ である必要がありますが、これは不可能です。

ケース2: $\sin\theta < 0$ かつ $2\sin\theta + 1 > 0$。

この場合、$\sin\theta < 0$ かつ $\sin\theta > -\frac{1}{2}$ である必要があります。

したがって、$-\frac{1}{2} < \sin\theta < 0$。

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\frac{7\pi}{6}$ と $\frac{11\pi}{6}$ です。

したがって、$\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$ です。

3. 最終的な答え

(3) $\theta = \pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(4) $\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$