次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた和 $S$ を書き出す。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

次に、両辺に $\frac{1}{3}$ を掛ける。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

次に、$S$ から $\frac{1}{3}S$ を引く。

$S - \frac{1}{3}S = (1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}) - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n})$

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{3^k} - \frac{n}{3^n}$

$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{3^k}$ は初項1、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{3^k} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{3^n}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

よって、

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n}$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3}{2} \cdot \frac{n}{3^n} = \frac{9}{4} - \frac{9}{4 \cdot 3^n} - \frac{3n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9}{4 \cdot 3^n} - \frac{6n}{4 \cdot 3^n} = \frac{9}{4} - \frac{9 + 6n}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{3(3 + 2n)}{4 \cdot 3^n} = \frac{9 \cdot 3^n - 3(3 + 2n)}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+2} - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9}{4} - \frac{6n + 9}{4 \cdot 3^n} = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

または

$S = \frac{3^{n+2} - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$