与えられた3つの関数について、それぞれの極値を求める。 (1) $y = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2$ (2) $y = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}$ (3) $y = x^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの極値を求める。

(1) $y = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2$

(2) $y = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}$

(3) $y = x^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2$ の場合

1. まず、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 12x^3 - 24x^2 + 12x$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$12x^3 - 24x^2 + 12x = 0$

$12x(x^2 - 2x + 1) = 0$

$12x(x-1)^2 = 0$

よって、$x = 0, 1$

3. 第二次導関数 $y''$ を求める。

$y'' = 36x^2 - 48x + 12$

4. $x = 0, 1$ を $y''$ に代入する。

$y''(0) = 12 > 0$ より、$x=0$ で極小値をとる。

$y(0) = 0$

$y''(1) = 36 - 48 + 12 = 0$ $x=1$では極値をとるか判定が必要。

$x=1$ の近傍での $y'$ の符号変化を調べる。$x=1$ の前後で$y'$の符号は変化しないので極値ではない。

5. $x=0$における極小値を求める。

$y(0) = 3(0)^4 - 8(0)^3 + 6(0)^2 = 0$

よって、極小値は $0$ ($x=0$ のとき)。$x=1$ では極値をとらない。

(2) $y = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}$ の場合

1. $y$ を整理する

$y = \frac{x-1 -x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} = \frac{-1}{x^2 - x}$

2. 導関数 $y'$ を求める。

$y' = \frac{2x - 1}{(x^2 - x)^2} = \frac{2x-1}{x^2(x-1)^2}$

3. $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$2x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

4. 第二次導関数 $y''$ を求める。

$y'' = \frac{2(x^2-x)^2 - (2x-1)2(x^2-x)(2x-1)}{(x^2-x)^4} = \frac{2(x^2-x)-2(2x-1)^2}{(x^2-x)^3} = \frac{2x^2-2x-2(4x^2-4x+1)}{(x^2-x)^3} = \frac{2x^2-2x-8x^2+8x-2}{(x^2-x)^3} = \frac{-6x^2+6x-2}{(x^2-x)^3} = \frac{-2(3x^2-3x+1)}{x^3(x-1)^3}$

5. $x = \frac{1}{2}$ を $y''$ に代入する。

$y''(\frac{1}{2}) = \frac{-2(3(\frac{1}{4}) - 3(\frac{1}{2}) + 1)}{(\frac{1}{8})(-\frac{1}{8})} = \frac{-2(\frac{3}{4} - \frac{3}{2} + 1)}{-\frac{1}{64}} = 128(\frac{3}{4} - \frac{6}{4} + \frac{4}{4}) = 128(\frac{1}{4}) = 32 > 0$

6. よって、$x = \frac{1}{2}$ で極小値をとる。

$y(\frac{1}{2}) = \frac{-1}{(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}} = \frac{-1}{\frac{1}{4} - \frac{2}{4}} = \frac{-1}{-\frac{1}{4}} = 4$

よって、極小値は $4$ ($x = \frac{1}{2}$ のとき)。

(3) $y = x^{\frac{1}{x}}$ の場合

1. 両辺の自然対数をとる。

$\ln y = \frac{1}{x} \ln x$

2. 両辺を $x$ で微分する。

$\frac{y'}{y} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

$y' = y \frac{1 - \ln x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}$

3. $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$1 - \ln x = 0$

$\ln x = 1$

$x = e$

4. 第二次導関数 $y''$ を求める。（複雑になるので省略）

$x = e$ の前後で $y'$ の符号が変化するか確認する。

5. $x < e$ のとき、$\ln x < 1$ なので $1-\ln x > 0$ より $y' > 0$。

$x > e$ のとき、$\ln x > 1$ なので $1-\ln x < 0$ より $y' < 0$。

6. よって、$x = e$ で極大値をとる。

$y(e) = e^{\frac{1}{e}}$

よって、極大値は $e^{\frac{1}{e}}$ ($x = e$ のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 極小値: 0 ($x=0$ のとき)

(2) 極小値: 4 ($x = \frac{1}{2}$ のとき)

(3) 極大値: $e^{\frac{1}{e}}$ ($x = e$ のとき)