与えられた3つの関数について、それぞれの増減を調べ、グラフを描く問題です。 1) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$ 2) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$ 3) $f(x) = e^x - 2x$ 以下では、3) $f(x) = e^x - 2x$ について解く手順と答えを示します。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの増減を調べ、グラフを描く問題です。

1) $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$

2) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

3) $f(x) = e^x - 2x$

以下では、3) $f(x) = e^x - 2x$ について解く手順と答えを示します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数を求めます。

$f'(x) = e^x - 2$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$e^x - 2 = 0$

$e^x = 2$

$x = \ln 2$

$x = \ln 2$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化するかを調べます。

$x < \ln 2$ のとき、$e^x < 2$ であるから、$f'(x) < 0$ となり、$f(x)$ は減少します。

$x > \ln 2$ のとき、$e^x > 2$ であるから、$f'(x) > 0$ となり、$f(x)$ は増加します。

したがって、$x = \ln 2$ で極小値をとり、極小値は $f(\ln 2) = e^{\ln 2} - 2\ln 2 = 2 - 2\ln 2$ となります。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | ln 2 | ... |

|---|---|---|---|

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | $2 - 2\ln 2$ | ↗ |

$\lim_{x \to -\infty} (e^x - 2x) = \infty$

$\lim_{x \to \infty} (e^x - 2x) = \infty$

以上より、グラフを描くことができます。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = e^x - 2x$ は $x = \ln 2$ で極小値 $2 - 2\ln 2$ をとります。 $x < \ln 2$ で減少し、$x > \ln 2$ で増加します。