$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1}$ という極限が存在し、その値が3であるとき、$a$と$b$の値を求める。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1}$ という極限が存在し、その値が3であるとき、$a$と$b$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to 1} (x-1) = 0$ である。$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1}$ が存在するということは、$\lim_{x \to 1} (x^2+ax+b)=0$ でなければならない。なぜならば、もし $\lim_{x \to 1} (x^2+ax+b)$ が 0 でない値を持つならば、$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1}$ は発散してしまうからである。

したがって、

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

よって、$b = -a - 1$

このとき、$x^2 + ax + b = x^2 + ax - a - 1 = x^2 - 1 + ax - a = (x-1)(x+1) + a(x-1) = (x-1)(x+a+1)$ と因数分解できる。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+a+1)$

$= 1+a+1 = a+2$

これが3に等しいので、$a+2=3$ から $a=1$。

また、$b = -a-1 = -1-1 = -2$

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -2$