関数 $f(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ の増減を調べ、そのグラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ の増減を調べ、そのグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) 定義域

関数 $f(x)$ の定義域は、分母が0にならないすべての実数である。すなわち、$x^2+1 \neq 0$ であるから、すべての実数 $x$ が定義域である。

(2) 対称性

$f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2+1} = \frac{-x^3}{x^2+1} = -f(x)$ であるから、$f(x)$ は奇関数である。したがって、グラフは原点に関して対称である。

(3) 極値

$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{(3x^2)(x^2+1) - x^3(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^4+3x^2-2x^4}{(x^2+1)^2} = \frac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x^2(x^2+3)=0$ のときである。$x^2+3 > 0$ なので、$x^2=0$ より $x=0$ のみが解となる。

$f'(x)$ は常に0以上なので、$x=0$ において極値を持たない。

(4) 増減

$f'(x) = \frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}$ より、$f'(x) \geq 0$ である。

$x \neq 0$ のとき $f'(x) > 0$ であるから、$f(x)$ は単調増加である。

(5) 漸近線

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x^2+1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2+1} = 1$

$\lim_{x \to \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3}{x^2+1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x(x^2+1)}{x^2+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x^2+1} = 0$

したがって、$y=x$ は漸近線である。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x(x^2+1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2+1} = 1$

$\lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to -\infty} (\frac{x^3}{x^2+1} - x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - x(x^2+1)}{x^2+1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x^2+1} = 0$

したがって、$y=x$ は漸近線である。

(6) その他

$f(0) = \frac{0}{1} = 0$

以上の情報をもとにグラフを描く。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ は、定義域が全ての実数であり、原点に関して対称な奇関数である。

$f'(x) = \frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2} \geq 0$ であり、常に単調増加である。

漸近線は $y=x$ である。

$f(0) = 0$ である。

グラフはこれらの情報から描画できる。