8人の生徒（男子3人、女子5人）を3つのグループに分ける。各グループの人数は2人以上4人以下とする。 (1) 性別に関係なくグループ分けする方法の総数を求める。 (2) 男子のみで構成されるグループが存在する場合のグループ分けの総数を求める。

1. 問題の内容

8人の生徒（男子3人、女子5人）を3つのグループに分ける。各グループの人数は2人以上4人以下とする。

(1) 性別に関係なくグループ分けする方法の総数を求める。

(2) 男子のみで構成されるグループが存在する場合のグループ分けの総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) グループの人数構成は (2, 3, 3), (2, 2, 4) のいずれかである。

* (2, 3, 3) の場合: 8人から2人を選び、残り6人から3人を選び、残りの3人を決める。3人のグループが2つあるので、2!で割る。

$\frac{{}_{8}C_2 \times {}_{6}C_3 \times {}_{3}C_3}{2!} = \frac{28 \times 20 \times 1}{2} = 280$

* (2, 2, 4) の場合: 8人から2人を選び、残り6人から2人を選び、残りの4人を決める。2人のグループが2つあるので、2!で割る。

$\frac{{}_{8}C_2 \times {}_{6}C_2 \times {}_{4}C_4}{2!} = \frac{28 \times 15 \times 1}{2} = 210$

したがって、(1)の答えは $280 + 210 = 490$ 通りである。

(2) 男子のみのグループが存在する場合を考える。男子は3人なので、男子のみのグループは2人か3人である。

* 男子3人のグループが存在する場合：残りの5人を2人、3人に分ける。

${}_{5}C_2 \times {}_{3}C_3 = 10 \times 1 = 10$

* 男子2人のグループが存在する場合：残りの1人の男子と5人の女子を、2つのグループに分ける。このとき、各グループの人数は2人以上4人以下である必要がある。グループ構成は(2,4)か(3,3)である。

* (2, 4)の場合：男子1人、女子1人をグループに入れて、残りの女子4人でグループを作る。${}_{5}C_4$を選ぶ必要はないため、${}_{5}C_1$ = 5。ただし、残りのグループは4人となる。

* (3, 3)の場合：男子1人、女子2人をグループに入れて、残りの女子3人でグループを作る。${}_{5}C_2$を選ぶ。またグループを区別しないので、結果は同じなので、${}_{5}C_2 = 10$となる。

したがって男子2人のグループが存在する場合 $5 + 10 = 15$ 通りある。

したがって、(2)の答えは $10 + 15 = 25$ 通りである。

3. 最終的な答え

(1) 490通り

(2) 25通り