問題文は、極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1}$ が存在するための条件について述べています。具体的には、この極限が存在するためには、$\lim_{x \to 1} (x^2 + ax + b) = 0$ でなければならないと主張し、その理由を説明しています。そして、「なぜ発散するのですか？」という問いを投げかけています。

1. 問題の内容

問題文は、極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1}$ が存在するための条件について述べています。具体的には、この極限が存在するためには、$\lim_{x \to 1} (x^2 + ax + b) = 0$ でなければならないと主張し、その理由を説明しています。そして、「なぜ発散するのですか？」という問いを投げかけています。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1}$ が存在するという仮定から考えます。

もし $\lim_{x \to 1} (x^2 + ax + b) \neq 0$ であれば、つまり $\lim_{x \to 1} (x^2 + ax + b) = c \neq 0$ であると仮定します。このとき、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{c}{x-1}$

となります。ここで、$x \to 1$ のとき、$x-1 \to 0$ です。

$x \to 1^+$ のとき、$x-1$ は正の数として0に近づくので、$\frac{c}{x-1} \to \pm \infty$ ($c$ の符号による)。

$x \to 1^-$ のとき、$x-1$ は負の数として0に近づくので、$\frac{c}{x-1} \to \pm \infty$ ($c$ の符号による)。

重要なのは、$x \to 1^+$ と $x \to 1^-$ のとき、$\frac{c}{x-1}$ の符号が異なる場合があることです。例えば、$c > 0$ のとき、$x \to 1^+$ なら $\frac{c}{x-1} \to +\infty$ であり、$x \to 1^-$ なら $\frac{c}{x-1} \to -\infty$ です。

したがって、$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1}$ は $\pm \infty$ に発散するため、極限値が存在しません。つまり、$\lim_{x \to 1} (x^2 + ax + b)$ が0でない値を持つと、$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1}$ は発散します。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 1} (x^2 + ax + b)$ が0でない値を持つ場合、$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1}$ は、分母が0に近づくにもかかわらず分子が0に近づかないため、$\pm \infty$ に発散します。