初項 $a_1=12$、漸化式 $a_{n+1}+4=2(a_n+4)$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

初項 $a_1=12$、漸化式 $a_{n+1}+4=2(a_n+4)$ で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を変形する。

$a_{n+1}+4=2(a_n+4)$

$a_{n+1}+4=2a_n+8$

$a_{n+1}=2a_n+4$

ここで、$a_{n+1}+\alpha=2(a_n+\alpha)$ の形に変形できると仮定すると、

$a_{n+1}=2a_n+\alpha$

これと、$a_{n+1}=2a_n+4$ を比較して、$\alpha=4$ となる。

したがって、漸化式は

$a_{n+1}+4=2(a_n+4)$

と変形できる。

$b_n=a_n+4$ とおくと、

$b_{n+1}=2b_n$

となり、数列 $\{b_n\}$ は公比2の等比数列となる。

初項は $b_1=a_1+4=12+4=16$ である。

よって、$b_n=16\cdot 2^{n-1}=2^4 \cdot 2^{n-1}=2^{n+3}$ となる。

$b_n=a_n+4$ より、$a_n=b_n-4$ であるから、

$a_n=2^{n+3}-4$

3. 最終的な答え

$a_n=2^{n+3}-4$