問題は、以下の2つの方程式または不等式を解くことです。 (1) $4^x - 2^{x+1} - 8 = 0$ (2) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 > 0$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの方程式または不等式を解くことです。

(1) $4^x - 2^{x+1} - 8 = 0$

(2) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $4^x - 2^{x+1} - 8 = 0$ を解く

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ であることを利用し、$t = 2^x$ と置換すると、

$t^2 - 2t - 8 = 0$

因数分解すると、

$(t - 4)(t + 2) = 0$

よって、$t = 4$ または $t = -2$。

$t = 2^x$ なので、$2^x = 4$ または $2^x = -2$。

$2^x = 4$ より、$x = 2$。

$2^x = -2$ を満たす実数 $x$ は存在しない。

(2) $9^x - 8 \cdot 3^x - 9 > 0$ を解く

$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ であることを利用し、$u = 3^x$ と置換すると、

$u^2 - 8u - 9 > 0$

因数分解すると、

$(u - 9)(u + 1) > 0$

よって、$u < -1$ または $u > 9$。

$u = 3^x$ なので、$3^x < -1$ または $3^x > 9$。

$3^x < -1$ を満たす実数 $x$ は存在しない。

$3^x > 9$ より、$3^x > 3^2$ なので、$x > 2$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$

(2) $x > 2$