$a$ が実数であるとき、$\frac{2+3i}{a+i}$ が純虚数となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ が実数であるとき、$\frac{2+3i}{a+i}$ が純虚数となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた複素数を $a-i$ で割って、分母を実数化する。

$\frac{2+3i}{a+i} = \frac{(2+3i)(a-i)}{(a+i)(a-i)}$

$= \frac{2a -2i + 3ai - 3i^2}{a^2 - i^2}$

$= \frac{2a -2i + 3ai + 3}{a^2 + 1}$

$= \frac{2a+3 + (3a-2)i}{a^2+1}$

$= \frac{2a+3}{a^2+1} + \frac{3a-2}{a^2+1}i$

$\frac{2+3i}{a+i}$ が純虚数であるとき、実部が0となる必要がある。

$\frac{2a+3}{a^2+1} = 0$

$2a+3 = 0$

$2a = -3$

$a = -\frac{3}{2}$

このとき、虚部は

$\frac{3(-\frac{3}{2})-2}{(-\frac{3}{2})^2+1} = \frac{-\frac{9}{2}-2}{\frac{9}{4}+1} = \frac{-\frac{13}{2}}{\frac{13}{4}} = -2 \neq 0$

となり、純虚数となる条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{3}{2}$