## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題13.5Bについて

(1) $n C_k$ は数列 $\{a_n\}$ の第何項になるかを答える問題です。ただし、数列 $\{a_n\}$ は、二項係数 $_0C_0, _1C_0, _1C_1, _2C_0, _2C_1, _2C_2, _3C_0, _3C_1, _3C_2, _3C_3, _4C_0, \dots$ のように並べられています。また、$_0C_0 = 1$ とします。

(2) $\sum_{k=1}^{2n^2} a_k$ を求める問題です。

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2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ の並び方から、$m$段目までには、

$_0C_0, _1C_0, _1C_1, _2C_0, _2C_1, _2C_2, \dots, _mC_0, _mC_1, \dots, _mC_m$

の項が含まれています。

$k=0$から$k=m$までの組み合わせの総数は$m+1$個なので、

$0$段目から$m$段目までの項の数は、

$\sum_{i=0}^{m} (i+1) = \sum_{i=1}^{m+1} i = \frac{(m+1)(m+2)}{2}$

個となります。

$nC_k$ は、$n$段目の $k+1$ 番目に現れるので、$nC_k$ が数列の第何項になるかは、$(n-1)$段目までの項数に、$k+1$ を足せばよいです。

したがって、$nC_k$は

$\frac{n(n+1)}{2} + (k+1) = \frac{n(n+1)}{2} + k + 1$

番目の項になります。

(2) $\sum_{k=1}^{2n^2} a_k$ を求めるためには、まず数列のどこまで足し合わせるかを考える必要があります。数列$\{a_n\}$は、二項係数を順に並べた数列であるため、二項定理

(1+x)^m = \sum_{k=0}^{m} _mC_k x^k

を利用します。$x=1$を代入すると

2^m = \sum_{k=0}^{m} _mC_k

となります。つまり、$m$段目の項の総和は $2^m$ となります。

問題は$\sum_{k=1}^{2n^2} a_k$を求めることでした。まず、$\frac{m(m+1)}{2} \le 2n^2$を満たす最大の整数$m$を求めます。すると$m$段目までの総項数は$\frac{m(m+1)}{2}$なので、残りの項数は$2n^2 - \frac{m(m+1)}{2}$となります。

$\frac{m(m+1)}{2} \approx \frac{m^2}{2}$なので、$m \approx \sqrt{4n^2} = 2n$となります。正確には$m(m+1) \le 4n^2$なので、$m \le \frac{-1 + \sqrt{1+16n^2}}{2}$となります。

二項係数の和は、

\sum_{k=1}^{2n^2} a_k = \sum_{i=0}^{m-1} 2^i + \sum_{j=0}^{2n^2 - \frac{m(m+1)}{2} - 1} _mC_j = \frac{2^m - 1}{2-1} + \sum_{j=0}^{2n^2 - \frac{m(m+1)}{2} - 1} _mC_j = 2^m - 1 + \sum_{j=0}^{2n^2 - \frac{m(m+1)}{2} - 1} _mC_j

この式をさらに簡略化することは難しいようです。

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3. 最終的な答え

(1) $nC_k$ は数列 $\{a_n\}$ の第 $\frac{n(n+1)}{2} + k + 1$ 項。

(2) \sum_{k=1}^{2n^2} a_k = 2^m - 1 + \sum_{j=0}^{2n^2 - \frac{m(m+1)}{2} - 1} _mC_j

ここで、$m$は$\frac{m(m+1)}{2} \le 2n^2$を満たす最大の整数。