直方体ABCD-EFGHにおいて、以下の2つの問題に答えます。 (1) 直線ABと直線CGのなす角$\theta$ (ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$)を求めます。 (2) 直線BCと直線EGのなす角$\theta$ (ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$)を求めます。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、以下の2つの問題に答えます。

(1) 直線ABと直線CGのなす角$\theta$ (ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$)を求めます。

(2) 直線BCと直線EGのなす角$\theta$ (ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$)を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABと直線CGについて

直線ABと直線CGは平行です。平行な2直線のなす角は0°または180°ですが、条件より$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$なので、求める角は0°です。

(2) 直線BCと直線EGについて

まず、点Eから辺BCに平行な直線を引き、その直線と辺CGとの交点をIとします。このとき、四角形BCIEは長方形になります。

したがって、EI = BC = $\sqrt{3}$となります。

また、EGは長方形EFGHの対角線なので、$EG = \sqrt{EF^2 + FG^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$です。

次に、三角形EGIを考えます。IG = CG - CI = 1 - $\sqrt{3}$ですが、ここではIGの長さは考えず、代わりに三角形EICを考えます。

三角形EICは、EI = $\sqrt{3}$, IC = 1の直角三角形なので、$EC = \sqrt{EI^2 + IC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$です。

したがって、EC = EG = 2となります。

次に、三角形ECGを考えます。EC = EG = 2, CG = 1なので、余弦定理を用いて$\angle CEG$を求めます。

$CG^2 = EC^2 + EG^2 - 2 \cdot EC \cdot EG \cdot \cos{\angle CEG}$

$1^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos{\angle CEG}$

$1 = 4 + 4 - 8 \cos{\angle CEG}$

$8 \cos{\angle CEG} = 7$

$\cos{\angle CEG} = \frac{7}{8}$

$\angle CEG = \arccos{\frac{7}{8}}$

また、$\vec{BC} \cdot \vec{EG} = |\vec{BC}| |\vec{EG}| \cos \theta$である。

$\vec{BC} = (\sqrt{3}, 0, 0)$

$\vec{EG} = (0, -\sqrt{3}, 1)$

$\vec{BC} \cdot \vec{EG} = (\sqrt{3}, 0, 0) \cdot (0, -\sqrt{3}, 1) = 0 + 0 + 0 = 0$

よって$\sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos \theta = 0$

$\cos \theta = 0$

$\theta = 90^\circ$

しかし、直線EGは辺BCと交わらないので、直線BCと平行な直線と直線EGのなす角を考えます。

直線AEと直線EGのなす角を考えます。

A(0, $\sqrt{3}$, 1), E($\sqrt{3}$, 0, 1), G($\sqrt{3}$, $\sqrt{3}$, 0)

$\vec{AE} = (\sqrt{3}, -\sqrt{3}, 0)$

$\vec{EG} = (0, \sqrt{3}, -1)$

$\cos \theta = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{EG}}{|\vec{AE}| |\vec{EG}|} = \frac{0 - 3 + 0}{\sqrt{6} \sqrt{4}} = \frac{-3}{\sqrt{24}} = \frac{-3}{2\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{4}$

$\theta = \arccos(-\frac{\sqrt{6}}{4}) = 127.24$

よって、$180 - 127.24 = 52.76^\circ$

3. 最終的な答え

(1) 0°

(2) $\arccos(\frac{\sqrt{6}}{4})$