与えられた問題は、総和 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、総和 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。分母と分子に $\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \frac{\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}}{(\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3})(\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2})} = \frac{\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}}{(k+3) - (k+2)} = \sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$

したがって、総和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \sum_{k=1}^n (\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2})$

この総和は望遠鏡和（telescoping sum）の形をしています。つまり、項が互いに打ち消し合って、最初と最後の項だけが残ります。具体的に書き下すと、

$(\sqrt{4} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{4}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}) + (\sqrt{n+3} - \sqrt{n+2})$

隣り合う項が打ち消し合うので、残るのは $-\sqrt{3} + \sqrt{n+3}$ です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{n+3} - \sqrt{3}$