$y = \sin^{-1}(ax+b)$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \sin^{-1}(ax+b)$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を入れ替えて、元の関数を $x = \sin(y)$ の形に書き換えます。

$y = \sin^{-1}(ax+b)$ より、

$\sin y = ax+b$

となります。

次に、$x$ で両辺を微分します。合成関数の微分を使うと、

$\cos y \frac{dy}{dx} = a$

となります。

$\frac{dy}{dx}$ について解くと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\cos y}$

となります。

$\cos^2 y + \sin^2 y = 1$ より、$\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{1 - \sin^2 y}}$

となります。

$\sin y = ax+b$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{1 - (ax+b)^2}}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{1 - (ax+b)^2}}$