与えられた関数 $y = \cot^{-1}(ax + b)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \cot^{-1}(ax + b)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

逆三角関数の微分公式と合成関数の微分（連鎖律）を利用します。

$\cot^{-1}(u)$ の微分は $\frac{d}{du}\cot^{-1}(u) = -\frac{1}{1+u^2}$ です。

$u = ax + b$ とすると、$\frac{du}{dx} = a$ です。

したがって、連鎖律より

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\cot^{-1}(ax + b) = \frac{d}{du}\cot^{-1}(u) \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+u^2} \cdot a$

$u = ax + b$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+(ax+b)^2} \cdot a$

整理すると、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{a}{1 + (ax + b)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{a}{1 + (ax + b)^2}$