問題は2つの定積分の値を求める問題です。 a) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$ b) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} dx$

1. 問題の内容

問題は2つの定積分の値を求める問題です。

a) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$

b) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} dx$

2. 解き方の手順

a) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx$ の計算

$\frac{1}{x^2}$ の不定積分は $-\frac{1}{x}$ です。

したがって、

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

b) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} dx$ の計算

分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}{(x+2) - (x+1)} = \sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} dx = \int_{0}^{1} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) dx$

$\sqrt{x+2} = (x+2)^{\frac{1}{2}}$ の不定積分は $\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}$ です。

$\sqrt{x+1} = (x+1)^{\frac{1}{2}}$ の不定積分は $\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}$ です。

よって、

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) dx = [\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}[(3)^{\frac{3}{2}} - (2)^{\frac{3}{2}}] - \frac{2}{3}[(2)^{\frac{3}{2}} - (1)^{\frac{3}{2}}] = \frac{2}{3}[3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 1] = \frac{2}{3}[3\sqrt{3} - 4\sqrt{2} + 1] = 2\sqrt{3} - \frac{8}{3}\sqrt{2} + \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

a) $\frac{1}{2}$

b) $2\sqrt{3} - \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3}$