曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y = a$ （ただし、$a \neq 0$）がちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問題を解きます。 (1) $a$ の値を求めます。 (2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求めます。 (3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = -x^3 + x^2$ と直線 $l: y = a$ （ただし、$a \neq 0$）がちょうど2つの共有点を持つとき、以下の問題を解きます。

(1) $a$ の値を求めます。

(2) $C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標をすべて求めます。

(3) $C$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める。

$C$ と $l$ の共有点の $x$ 座標は、方程式 $-x^3 + x^2 = a$ の解として得られます。

この方程式がちょうど2つの異なる実数解を持つためには、曲線 $y = -x^3 + x^2$ と直線 $y = a$ が接する必要があると考えられます。

まず、$f(x) = -x^3 + x^2$ と置きます。$f'(x) = -3x^2 + 2x$ となります。

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めると、$-3x^2 + 2x = 0$ より $x(-3x + 2) = 0$ となり、$x = 0, \frac{2}{3}$ を得ます。

$f(0) = 0$ であり、$f(\frac{2}{3}) = -(\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^2 = -\frac{8}{27} + \frac{4}{9} = \frac{-8 + 12}{27} = \frac{4}{27}$ となります。

$a \neq 0$ という条件より、$a = \frac{4}{27}$ である必要があります。

(2) 共有点の $x$ 座標を求める。

$y = a = \frac{4}{27}$ のとき、$-x^3 + x^2 = \frac{4}{27}$ となります。

これを変形すると、$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = 0$ となります。

$x = \frac{2}{3}$ で接することから、$(x - \frac{2}{3})^2$ を因数に持つはずです。

$x^3 - x^2 + \frac{4}{27} = (x - \frac{2}{3})^2 (x + \frac{1}{3}) = (x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) (x + \frac{1}{3}) = x^3 - \frac{4}{3}x^2 + \frac{4}{9}x + \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{9}x + \frac{4}{27} = x^3 - x^2 + \frac{4}{27}$ となり、正しいことがわかります。

したがって、$x = \frac{2}{3}$ (重解) または $x = -\frac{1}{3}$ です。

(3) 囲まれた図形の面積を求める。

面積は、$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} ((-x^3 + x^2) - \frac{4}{27}) dx$ で計算できます。

$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} (-x^3 + x^2 - \frac{4}{27}) dx = [-\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{4}{27}x]_{-\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} = (-\frac{16}{324} + \frac{8}{81} - \frac{8}{81}) - (-\frac{1}{324} - \frac{1}{81} + \frac{4}{81}) = -\frac{1}{324} (16 - 1) + \frac{1}{81} (0 - (-1+4)) = -\frac{15}{324} - \frac{3}{81} = \frac{-15 - 12}{324} = \frac{-(5+4)}{108} = -\frac{9}{108} = -\frac{1}{12}$

絶対値を取って $\frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{4}{27}$

(2) $x = \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}$

(3) $\frac{1}{12}$