多項式の割り算の問題です。 $x^2 + 5x + 6$ を $x + 2$ で割ったときの商と余りを求めます。

## 問題 (17)

1. 問題の内容

多項式の割り算の問題です。

$x^2 + 5x + 6$ を $x + 2$ で割ったときの商と余りを求めます。

2. 解き方の手順

多項式の割り算を行います。

* $x^2 + 5x + 6$ を $x + 2$ で割ります。

* $x^2$ を $x$ で割ると $x$ なので、商の最初に $x$ を立てます。

* $x(x + 2) = x^2 + 2x$ を $x^2 + 5x + 6$ から引くと、$3x + 6$ になります。

* $3x$ を $x$ で割ると $3$ なので、商の次に $3$ を立てます。

* $3(x + 2) = 3x + 6$ を $3x + 6$ から引くと、$0$ になります。

* したがって、商は $x + 3$、余りは $0$ です。

3. 最終的な答え

商: $x + 3$

余り: $0$

## 問題 (18)

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 10x = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

* まず、式全体を $x$ でくくります。

$x(x^2 - 3x - 10) = 0$

* 次に、$x^2 - 3x - 10$ を因数分解します。

$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$

* したがって、$x(x - 5)(x + 2) = 0$ となります。

* よって、$x = 0$, $x - 5 = 0$, $x + 2 = 0$ のいずれかが成り立ちます。

* したがって、$x = 0, 5, -2$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = 0, 5, -2$

## 問題 (19)

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 + x - 1 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

* 因数分解を用いて解きます。

$x^3 - x^2 + x - 1 = 0$

* $(x^3 - x^2) + (x - 1) = 0$

* $x^2(x - 1) + 1(x - 1) = 0$

* $(x^2 + 1)(x - 1) = 0$

* したがって、$x^2 + 1 = 0$ または $x - 1 = 0$ です。

* $x - 1 = 0$ より、$x = 1$ です。

* $x^2 + 1 = 0$ より、$x^2 = -1$ なので、$x = \pm i$ （$i$ は虚数単位）です。

3. 最終的な答え

$x = 1, i, -i$

## 問題 (20)

1. 問題の内容

等式 $(x - 2y)^2 + (2x + y)^2 = 5(x^2 + y^2)$ を証明します。

2. 解き方の手順

左辺を展開し、右辺と同じ形になることを示します。

* 左辺を展開します。

$(x - 2y)^2 + (2x + y)^2 = (x^2 - 4xy + 4y^2) + (4x^2 + 4xy + y^2)$

* 同類項をまとめます。

$= x^2 - 4xy + 4y^2 + 4x^2 + 4xy + y^2 = 5x^2 + 5y^2$

* 右辺は $5(x^2 + y^2) = 5x^2 + 5y^2$ です。

* 左辺と右辺が等しいので、与えられた等式は成立します。

3. 最終的な答え

証明完了

## 問題 (21)

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{9}{x} \ge 6$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

相加相乗平均の不等式を利用します。

* 相加相乗平均の不等式より、$x > 0$、$\frac{9}{x} > 0$ であるから、

$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}}$

* $\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge \sqrt{9}$

* $\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \ge 3$

* 両辺に2をかけると、$x + \frac{9}{x} \ge 6$ が得られます。

* したがって、$x + \frac{9}{x} \ge 6$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

証明完了