$k$ を定数とする。直線 $(k+2)x + (2k-3)y = 5k-4$ は、$k$ の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を定数とする。直線 $(k+2)x + (2k-3)y = 5k-4$ は、$k$ の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた直線の方程式は

$(k+2)x + (2k-3)y = 5k-4$

これを $k$ について整理すると

$kx + 2x + 2ky - 3y = 5k - 4$

$k(x + 2y - 5) + (2x - 3y + 4) = 0$

この直線が $k$ の値に関わらず定点を通るということは、$x+2y-5=0$ かつ $2x-3y+4=0$ が成り立つということです。つまり、以下の連立方程式を解けば良いです。

$x + 2y - 5 = 0$

$2x - 3y + 4 = 0$

上の式から $x = 5 - 2y$ を得ます。これを下の式に代入すると

$2(5 - 2y) - 3y + 4 = 0$

$10 - 4y - 3y + 4 = 0$

$14 - 7y = 0$

$7y = 14$

$y = 2$

これを $x = 5 - 2y$ に代入すると

$x = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1$

したがって、定点の座標は $(1, 2)$ となります。

3. 最終的な答え

(1, 2)