2次方程式 $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$, $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 5x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$, $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = \frac{5}{2}$, $\alpha\beta = \frac{4}{2} = 2$ である。

まず、$\alpha^2 + \beta^2$を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{5}{2})^2 - 2(2) = \frac{25}{4} - 4 = \frac{25}{4} - \frac{16}{4} = \frac{9}{4}$

次に、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$を求める。

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{\frac{5}{2}}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

最後に、$\alpha^3 + \beta^3$を求める。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\frac{5}{2})((\frac{5}{2})^2 - 3(2)) = (\frac{5}{2})(\frac{25}{4} - 6) = (\frac{5}{2})(\frac{25}{4} - \frac{24}{4}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{9}{4}$

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{5}{4}$

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{5}{8}$