3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 5x + 2 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ の値を求めよ。
2025/7/10
1. 問題の内容
3次方程式 の3つの解を とするとき、 の値を求めよ。
2. 解き方の手順
3次方程式 の3つの解を とすると、解と係数の関係より、
\begin{align*}
\alpha + \beta + \gamma &= -\frac{b}{a} \\
\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &= \frac{c}{a} \\
\alpha\beta\gamma &= -\frac{d}{a}
\end{align*}
この問題では、 なので、 である。
したがって、
\begin{align*}
\alpha + \beta + \gamma &= -\frac{-3}{1} = 3 \\
\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &= \frac{-5}{1} = -5 \\
\alpha\beta\gamma &= -\frac{2}{1} = -2
\end{align*}
求める値は、
\begin{align*}
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} &= \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} \\
&= \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} \\
&= \frac{-5}{-2} \\
&= \frac{5}{2}
\end{align*}