3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 5x + 2 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 5x + 2 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

が成り立つ。

与えられた方程式 $x^3 - 3x^2 - 5x + 2 = 0$ について、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = - \frac{-3}{1} = 3$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{-5}{1} = -5$

$\alpha\beta\gamma = -\frac{2}{1} = -2$

である。

求める値 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$ は、通分することで

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$

となる。

解と係数の関係より、$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -5$ および $\alpha\beta\gamma = -2$ であるから、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}$

である。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$