$a, b$ は実数である。2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が $x = 1 - 2i$ を解に持つとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数である。2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が $x = 1 - 2i$ を解に持つとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$a, b$ は実数なので、複素数 $1 - 2i$ が解ならば、共役複素数 $1 + 2i$ も解である。なぜなら、2次方程式の係数が実数の場合、複素数解は必ず共役な複素数とペアで現れるからである。

したがって、2つの解は $1 - 2i$ と $1 + 2i$ である。

解と係数の関係より、

2つの解の和は $-a$ に等しいから、

$(1 - 2i) + (1 + 2i) = -a$

$2 = -a$

$a = -2$

2つの解の積は $b$ に等しいから、

$(1 - 2i)(1 + 2i) = b$

$1 - (2i)^2 = b$

$1 - 4i^2 = b$

$1 - 4(-1) = b$

$1 + 4 = b$

$b = 5$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 5$