(1) 正$n$角柱について、面の数、辺の数、頂点の数をそれぞれ調べ、オイラーの多面体定理（(頂点の数) - (辺の数) + (面の数) = 2）が成り立つことを確認する。 (2) 右の図のような、10個の正三角形を面にもつ多面体が正多面体ではない理由を述べる。

1. 問題の内容

(1) 正$n$角柱について、面の数、辺の数、頂点の数をそれぞれ調べ、オイラーの多面体定理（(頂点の数) - (辺の数) + (面の数) = 2）が成り立つことを確認する。

(2) 右の図のような、10個の正三角形を面にもつ多面体が正多面体ではない理由を述べる。

2. 解き方の手順

(1) 正$n$角柱の面の数、辺の数、頂点の数をそれぞれ求める。

* 面の数：上面、下面、側面の$n$個で、合計$n + 2$個。

* 辺の数：上面の$n$個、下面の$n$個、側面の$n$個で、合計$3n$個。

* 頂点の数：上面の$n$個、下面の$n$個で、合計$2n$個。

これらの値をオイラーの多面体定理に代入して、成り立つことを確認する。

$2n - 3n + (n + 2) = 2$

$2 = 2$

よって、オイラーの多面体定理が成り立つ。

(2) 正多面体の定義を思い出す。正多面体は、各面がすべて合同な正多角形で構成され、各頂点に集まる面の数がすべて等しい多面体である。

図の多面体は、10個の正三角形で構成されている。頂点に着目すると、頂点に集まる面の数が３つの頂点と４つの頂点があるため、すべての頂点に集まる面の数が等しくない。

3. 最終的な答え

(1) 正$n$角柱において、面の数、辺の数、頂点の数はそれぞれ$n+2$, $3n$, $2n$である。これらの値をオイラーの多面体定理に代入すると、

$2n - 3n + (n + 2) = 2$

となり、オイラーの多面体定理が成り立つ。

(2) 図の多面体は、頂点に集まる面の数が3つの頂点と4つの頂点があるため、すべての頂点に集まる面の数が等しくない。したがって、正多面体の定義を満たさないため、正多面体ではない。