$x = 2 + 3i$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求めよ。 * $x^2 - 4x + 13$ * $x^3 - 6x^2 + 16x - 3$

1. 問題の内容

$x = 2 + 3i$ のとき、以下の式の値をそれぞれ求めよ。

* $x^2 - 4x + 13$

* $x^3 - 6x^2 + 16x - 3$

2. 解き方の手順

まず、$x = 2 + 3i$ を $x^2 - 4x + 13$ に代入して計算します。

$x^2 - 4x + 13 = (2 + 3i)^2 - 4(2 + 3i) + 13$

$= (4 + 12i - 9) - (8 + 12i) + 13$

$= 4 + 12i - 9 - 8 - 12i + 13$

$= (4 - 9 - 8 + 13) + (12i - 12i)$

$= 0 + 0i$

$= 0$

次に、$x = 2 + 3i$ を $x^3 - 6x^2 + 16x - 3$ に代入して計算します。

$x^3 - 6x^2 + 16x - 3 = (2 + 3i)^3 - 6(2 + 3i)^2 + 16(2 + 3i) - 3$

$= (2 + 3i)(2 + 3i)^2 - 6(2 + 3i)^2 + 16(2 + 3i) - 3$

$= (2 + 3i)(4 + 12i - 9) - 6(4 + 12i - 9) + (32 + 48i) - 3$

$= (2 + 3i)(-5 + 12i) - 6(-5 + 12i) + 32 + 48i - 3$

$= (-10 + 24i - 15i - 36) - (-30 + 72i) + 29 + 48i$

$= -46 + 9i + 30 - 72i + 29 + 48i$

$= (-46 + 30 + 29) + (9i - 72i + 48i)$

$= 13 - 15i$

3. 最終的な答え

$x^2 - 4x + 13 = 0$

$x^3 - 6x^2 + 16x - 3 = 13 - 15i$