(1) $a$ を正の実数とするとき、2次方程式 $x^2 + 2ax + 2 = 0$ の2つの解の比が1:2となるような定数 $a$ の値と2つの解を求めよ。 (2) $a, b$ は正の定数とする。2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。2次方程式 $x^2 + (a^2 - 4a)x + a - b = 0$ が2つの数 $\alpha + 3, \beta + 3$ を解とするとき、$a, b$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $a$ を正の実数とするとき、2次方程式 $x^2 + 2ax + 2 = 0$ の2つの解の比が1:2となるような定数 $a$ の値と2つの解を求めよ。

(2) $a, b$ は正の定数とする。2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。2次方程式 $x^2 + (a^2 - 4a)x + a - b = 0$ が2つの数 $\alpha + 3, \beta + 3$ を解とするとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2つの解の比が1:2なので、2つの解を $\gamma, 2\gamma$ とおく。

解と係数の関係より、

$\gamma + 2\gamma = -2a$

$\gamma \cdot 2\gamma = 2$

したがって、

$3\gamma = -2a$

$2\gamma^2 = 2 \implies \gamma^2 = 1 \implies \gamma = \pm 1$

$a$ は正の実数なので、$3\gamma = -2a < 0$ より $\gamma = -1$.

よって、$-3 = -2a$ より $a = \frac{3}{2}$.

解は $\gamma = -1, 2\gamma = -2$

(2)

解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -a$

$\alpha \beta = b$

また、$\alpha + 3$ と $\beta + 3$ が $x^2 + (a^2 - 4a)x + a - b = 0$ の解なので、

$(\alpha + 3) + (\beta + 3) = - (a^2 - 4a)$

$(\alpha + 3) (\beta + 3) = a - b$

$\alpha + \beta + 6 = - (a^2 - 4a)$

$\alpha \beta + 3(\alpha + \beta) + 9 = a - b$

$-a + 6 = -a^2 + 4a$

$b + 3(-a) + 9 = a - b$

$a^2 - 5a + 6 = 0$

$2b - 3a + 9 = a$

$(a - 2)(a - 3) = 0$

$a = 2$ または $a = 3$

$2b = 4a - 9$

$a = 2$ のとき、$2b = 8 - 9 = -1$. これは $b > 0$ に矛盾。

$a = 3$ のとき、$2b = 12 - 9 = 3$ より $b = \frac{3}{2}$.

したがって、$a = 3, b = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3}{2}$, 解は $x = -1, -2$

(2) $a = 3, b = \frac{3}{2}$