$a$ は 0 でない定数とする。2 つの放物線 $y = x^2$ と $x = \frac{1}{2a} y^2 + \frac{3a}{4}$ の両方に接する直線がちょうど 3 本となるような $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ は 0 でない定数とする。2 つの放物線 $y = x^2$ と $x = \frac{1}{2a} y^2 + \frac{3a}{4}$ の両方に接する直線がちょうど 3 本となるような $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2$ に接する直線を $y = mx + n$ とおく。この直線と放物線の交点の $x$ 座標は、$x^2 = mx + n$ の解である。接するためには、この 2 次方程式が重解を持てばよいので、判別式 $D = m^2 + 4n = 0$ となる。したがって、$n = -\frac{m^2}{4}$ であり、接線の方程式は $y = mx - \frac{m^2}{4}$ となる。

次に、この接線が放物線 $x = \frac{1}{2a}y^2 + \frac{3a}{4}$ にも接する条件を考える。接線の方程式を代入すると、

$x = \frac{1}{2a}(mx - \frac{m^2}{4})^2 + \frac{3a}{4}$

$2ax = (mx - \frac{m^2}{4})^2 + \frac{3a^2}{2}$

$2ax = m^2x^2 - \frac{m^3}{2}x + \frac{m^4}{16} + \frac{3a^2}{2}$

$m^2x^2 - (\frac{m^3}{2} + 2a)x + \frac{m^4}{16} + \frac{3a^2}{2} = 0$

この 2 次方程式が重解を持つ条件は、判別式が 0 となることである。

$D = (\frac{m^3}{2} + 2a)^2 - 4m^2 (\frac{m^4}{16} + \frac{3a^2}{2}) = 0$

$\frac{m^6}{4} + 2m^3a + 4a^2 - \frac{m^6}{4} - 6m^2a^2 = 0$

$2m^3a + 4a^2 - 6m^2a^2 = 0$

$2a(m^3 + 2a - 3m^2a) = 0$

$a \neq 0$ なので、$m^3 - 3am^2 + 2a = 0$ となる。

この $m$ に関する 3 次方程式が異なる実数解を 3 つ持つとき、元の放物線に共通接線が 3 本引けることになる。

$f(m) = m^3 - 3am^2 + 2a$ とおく。

$f'(m) = 3m^2 - 6am = 3m(m - 2a)$

$f'(m) = 0$ となるのは、$m = 0, 2a$ のとき。

3 つの異なる実数解を持つためには、$f(0)$ と $f(2a)$ の符号が異なればよい。

$f(0) = 2a$

$f(2a) = (2a)^3 - 3a(2a)^2 + 2a = 8a^3 - 12a^3 + 2a = -4a^3 + 2a = 2a(1 - 2a^2)$

$f(0)f(2a) < 0$ である必要があるので、$2a \cdot 2a(1 - 2a^2) < 0$

$4a^2(1 - 2a^2) < 0$

$a \neq 0$ なので、$1 - 2a^2 < 0$

$2a^2 > 1$

$a^2 > \frac{1}{2}$

$a < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ または $a > \frac{1}{\sqrt{2}}$

3. 最終的な答え

$a < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ または $a > \frac{\sqrt{2}}{2}$