(1) 関数 $y = 4^{x+1} - 2^{x+2} + 2$ ($x \leq 2$) の最大値と最小値を求める。 (2) 関数 $y = 6(2^x + 2^{-x}) - 2(4^x + 4^{-x})$ について、$2^x + 2^{-x} = t$ とおくとき、$y$ を $t$ を用いて表し、さらに $y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = 4^{x+1} - 2^{x+2} + 2$ ($x \leq 2$) の最大値と最小値を求める。

(2) 関数 $y = 6(2^x + 2^{-x}) - 2(4^x + 4^{-x})$ について、$2^x + 2^{-x} = t$ とおくとき、$y$ を $t$ を用いて表し、さらに $y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$4^{x+1}$ と $2^{x+2}$ をそれぞれ $2^x$ の式で表す。

$4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2$

$2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$

したがって、$y$ は次のように書き換えられる。

$y = 4 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 2$

ここで、$2^x = t$ とおくと、$y$ は $t$ の2次関数として表せる。

$y = 4t^2 - 4t + 2$

平方完成を行うと、

$y = 4(t^2 - t) + 2 = 4(t - \frac{1}{2})^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} + 2 = 4(t - \frac{1}{2})^2 + 1$

$x \leq 2$ より、$t = 2^x \leq 2^2 = 4$ 。また、$t = 2^x > 0$ であるから、$0 < t \leq 4$。

$y$ は $t = \frac{1}{2}$ で最小値 1 をとる。

$t = 4$ のとき、$y = 4(4 - \frac{1}{2})^2 + 1 = 4(\frac{7}{2})^2 + 1 = 4 \cdot \frac{49}{4} + 1 = 49 + 1 = 50$。

したがって、$y$ の最大値は 50、最小値は 1。

(2)

$t = 2^x + 2^{-x}$ とおく。

$4^x + 4^{-x} = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 = (2^x + 2^{-x})^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} = t^2 - 2$

したがって、

$y = 6(2^x + 2^{-x}) - 2(4^x + 4^{-x}) = 6t - 2(t^2 - 2) = 6t - 2t^2 + 4 = -2t^2 + 6t + 4$

$y = -2(t^2 - 3t) + 4 = -2(t - \frac{3}{2})^2 + 2 \cdot \frac{9}{4} + 4 = -2(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + \frac{8}{2} = -2(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{17}{2}$

$t = 2^x + 2^{-x}$ について、相加相乗平均の関係より $2^x + 2^{-x} \geq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2$。等号成立は $2^x = 2^{-x}$、すなわち $x = 0$ のとき。

したがって、$t \geq 2$。

$y = -2(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{17}{2}$ は、$t \geq 2$ において、$t = 2$ のとき最大値をとる。

$t = 2$ のとき、$y = -2(2 - \frac{3}{2})^2 + \frac{17}{2} = -2(\frac{1}{2})^2 + \frac{17}{2} = -2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{17}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{17}{2} = \frac{16}{2} = 8$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 50, 最小値: 1

(2) $y = -2t^2 + 6t + 4$, 最大値: 8