$\theta$ が第1象限の角であり、$\cos{\theta} = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めなさい。

## 問題 17

1. 問題の内容

$\theta$ が第1象限の角であり、$\cos{\theta} = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本関係式 $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ を利用して $\sin{\theta}$ を求めます。

$\cos{\theta} = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\sin^2{\theta} + (\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2{\theta} + \frac{4}{9} = 1$

$\sin^2{\theta} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\theta$ は第1象限の角なので、$\sin{\theta} > 0$ です。したがって、

$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan{\theta}$ を求めます。$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ なので、

$\tan{\theta} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan{\theta} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

## 問題 18

1. 問題の内容

$\theta$ が第3象限の角であり、$\cos{\theta} = -\frac{1}{3}$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本関係式 $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ を利用して $\sin{\theta}$ を求めます。

$\cos{\theta} = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$\sin^2{\theta} + (-\frac{1}{3})^2 = 1$

$\sin^2{\theta} + \frac{1}{9} = 1$

$\sin^2{\theta} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\theta$ は第3象限の角なので、$\sin{\theta} < 0$ です。したがって、

$\sin{\theta} = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan{\theta}$ を求めます。$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ なので、

$\tan{\theta} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \times -\frac{3}{1} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan{\theta} = 2\sqrt{2}$

## 問題 19

1. 問題の内容

$\theta$ が第4象限の角であり、$\sin{\theta} = -\frac{5}{13}$ のとき、$\cos{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本関係式 $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ を利用して $\cos{\theta}$ を求めます。

$\sin{\theta} = -\frac{5}{13}$ を代入すると、

$(-\frac{5}{13})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{25}{169} + \cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

$\theta$ は第4象限の角なので、$\cos{\theta} > 0$ です。したがって、

$\cos{\theta} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

次に、$\tan{\theta}$ を求めます。$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ なので、

$\tan{\theta} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{13} \times \frac{13}{12} = -\frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

$\cos{\theta} = \frac{12}{13}$

$\tan{\theta} = -\frac{5}{12}$

## 問題 20

1. 問題の内容

関数 $y = 3\sin{\theta}$ のグラフを書き、その周期を求めなさい。

2. 解き方の手順

$y = \sin{\theta}$ のグラフは、$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで変化するとき、値が $0$ から $1$ まで増加し、$1$ から $0$ まで減少し、$0$ から $-1$ まで減少し、$-1$ から $0$ まで増加する周期的なグラフです。

$y = 3\sin{\theta}$ のグラフは、$y = \sin{\theta}$ のグラフをy軸方向に3倍に拡大したものです。したがって、最大値は $3$、最小値は $-3$ となります。

グラフの概形は、$\theta=0$ のとき $y=0$, $\theta=\frac{\pi}{2}$ のとき $y=3$, $\theta=\pi$ のとき $y=0$, $\theta=\frac{3\pi}{2}$ のとき $y=-3$, $\theta=2\pi$ のとき $y=0$ となります。

$\sin$ 関数の周期は $2\pi$ なので、$y = 3\sin{\theta}$ の周期も $2\pi$ です。

3. 最終的な答え

グラフは省略します。

周期: $2\pi$

## 問題 21

1. 問題の内容

関数 $y = \cos{2\theta}$ のグラフを書き、その周期を求めなさい。

2. 解き方の手順

$y = \cos{\theta}$ のグラフは、$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで変化するとき、値が $1$ から $-1$ まで減少し、$-1$ から $1$ まで増加する周期的なグラフです。

$y = \cos{2\theta}$ のグラフは、$y = \cos{\theta}$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小したものです。つまり、$\theta$ が $\pi$ だけ変化すると、$2\theta$ が $2\pi$ だけ変化します。したがって、周期は $\pi$ となります。

グラフの概形は、$\theta=0$ のとき $y=1$, $\theta=\frac{\pi}{4}$ のとき $y=0$, $\theta=\frac{\pi}{2}$ のとき $y=-1$, $\theta=\frac{3\pi}{4}$ のとき $y=0$, $\theta=\pi$ のとき $y=1$ となります。

3. 最終的な答え

グラフは省略します。

周期: $\pi$