曲線 $y = -x^2 + x$ 上の点 (1, 1) を通る接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^2 + x$ 上の点 (1, 1) を通る接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = -x^2 + x$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = -2x + 1$

次に、点 (1, 1) における接線の傾きを求めます。

$y'(1) = -2(1) + 1 = -1$

したがって、点 (1, 1) における接線の方程式は、傾きが -1 で点 (1, 1) を通るので、次のようになります。

$y - 1 = -1(x - 1)$

$y - 1 = -x + 1$

$y = -x + 2$

接線の方程式が $y = -x + 2$ のとき、接点の座標は (1, 1) です。

次に、曲線 $y = -x^2 + x$ の接線で、傾きが $m$ である場合を考えます。接点を $(t, -t^2+t)$ とすると、接線の傾きは $y'(t) = -2t + 1$ なので、これが $m$ に等しくなります。すなわち、 $-2t + 1 = m$ より、 $t = \frac{1 - m}{2}$ です。このとき、接線の方程式は

$y - (-t^2 + t) = m(x - t)$

$y - (-\left(\frac{1-m}{2}\right)^2 + \frac{1-m}{2}) = m(x - \frac{1-m}{2})$

この接線が点 (1, 1) を通るので、

$1 - (-\left(\frac{1-m}{2}\right)^2 + \frac{1-m}{2}) = m(1 - \frac{1-m}{2})$

$1 + \frac{(1-m)^2}{4} - \frac{1-m}{2} = m - m\frac{1-m}{2}$

$4 + (1-m)^2 - 2(1-m) = 4m - 2m(1-m)$

$4 + 1 - 2m + m^2 - 2 + 2m = 4m - 2m + 2m^2$

$3 + m^2 = 2m + 2m^2$

$m^2 + 2m - 3 = 0$

$(m+3)(m-1) = 0$

$m = 1, -3$

$m = 1$ のとき、 $t = \frac{1 - 1}{2} = 0$ なので、接点の座標は (0, 0) となり、接線の方程式は $y = x$ となります。

$m = -3$ のとき、$t = \frac{1 - (-3)}{2} = 2$ なので、接点の座標は (2, -2) となり、接線の方程式は $y - (-2) = -3(x - 2)$ 、すなわち $y = -3x + 4$ となります。

まとめると、点 (1, 1) を通る接線の方程式は $y = x$ と $y = -3x + 4$ です。

$y = x$ のとき、接点の座標は (0, 0) です。

$y = -3x + 4$ のとき、接点の座標は (2, -2) です。

しかし、問題文には「次の曲線上に、与えられた点から引かれた」とあるので、曲線上にない点から引いた接線を求めるのではなく、(1,1)における接線を求める問題だと考えられます。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = -x + 2$ のとき、接点は (1, 1)