次の2つの不定方程式の整数解をすべて求める問題です。 (1) $3x - 5y = 1$ (2) $75x + 64y = 1$

1. 問題の内容

次の2つの不定方程式の整数解をすべて求める問題です。

(1) $3x - 5y = 1$

(2) $75x + 64y = 1$

2. 解き方の手順

(1) $3x - 5y = 1$ の場合

まず、特殊解を一つ見つけます。例えば、$x = 2, y = 1$ は $3(2) - 5(1) = 6 - 5 = 1$ を満たすので、特殊解の一つです。

したがって、$3(2) - 5(1) = 1$ が成り立ちます。

与えられた方程式 $3x - 5y = 1$ からこの式を引くと、

$3x - 5y - (3(2) - 5(1)) = 1 - 1$

$3(x - 2) - 5(y - 1) = 0$

$3(x - 2) = 5(y - 1)$

3と5は互いに素なので、$x - 2$ は5の倍数でなければなりません。

そこで、$x - 2 = 5k$ （$k$は整数）とおくと、$x = 5k + 2$ となります。

これを $3(x - 2) = 5(y - 1)$ に代入すると、

$3(5k) = 5(y - 1)$

$15k = 5(y - 1)$

$3k = y - 1$

$y = 3k + 1$

よって、整数解は $x = 5k + 2, y = 3k + 1$ （$k$は整数）となります。

(2) $75x + 64y = 1$ の場合

まず、特殊解を一つ見つけます。ユークリッドの互除法を使って、75と64の最大公約数を求めます。

$75 = 64 \cdot 1 + 11$

$64 = 11 \cdot 5 + 9$

$11 = 9 \cdot 1 + 2$

$9 = 2 \cdot 4 + 1$

$2 = 1 \cdot 2 + 0$

最大公約数は1なので、整数解が存在します。

次に、逆から計算して特殊解を求めます。

$1 = 9 - 2 \cdot 4$

$1 = 9 - (11 - 9 \cdot 1) \cdot 4 = 9 - 11 \cdot 4 + 9 \cdot 4 = 9 \cdot 5 - 11 \cdot 4$

$1 = (64 - 11 \cdot 5) \cdot 5 - 11 \cdot 4 = 64 \cdot 5 - 11 \cdot 25 - 11 \cdot 4 = 64 \cdot 5 - 11 \cdot 29$

$1 = 64 \cdot 5 - (75 - 64 \cdot 1) \cdot 29 = 64 \cdot 5 - 75 \cdot 29 + 64 \cdot 29 = 64 \cdot 34 - 75 \cdot 29$

$1 = 75(-29) + 64(34)$

したがって、$x = -29, y = 34$ は特殊解の一つです。

与えられた方程式 $75x + 64y = 1$ から $75(-29) + 64(34) = 1$ を引くと、

$75(x + 29) + 64(y - 34) = 0$

$75(x + 29) = -64(y - 34)$

75と64は互いに素なので、$x + 29$ は64の倍数でなければなりません。

そこで、$x + 29 = 64k$ （$k$は整数）とおくと、$x = 64k - 29$ となります。

これを $75(x + 29) = -64(y - 34)$ に代入すると、

$75(64k) = -64(y - 34)$

$75k = -(y - 34)$

$y - 34 = -75k$

$y = -75k + 34$

よって、整数解は $x = 64k - 29, y = -75k + 34$ （$k$は整数）となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 5k + 2, y = 3k + 1$ （$k$は整数）

(2) $x = 64k - 29, y = -75k + 34$ （$k$は整数）