$\int 3x(2x^2-1) dx$ を計算します。

## 問題1 (1)

1. 問題の内容

$\int 3x(2x^2-1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積分を計算するために、まず被積分関数を展開します。

$3x(2x^2-1) = 6x^3 - 3x$

次に、項別に積分します。

$\int (6x^3 - 3x) dx = \int 6x^3 dx - \int 3x dx$

定数倍のルールを用いて、定数を積分の外に出します。

$= 6 \int x^3 dx - 3 \int x dx$

べき関数の積分ルール $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

$= 6 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C$

整理します。

$= \frac{3}{2}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + C$

## 問題1 (2)

1. 問題の内容

$\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = x^2 + 1$ と置換します。すると $du = 2x dx$ となります。

また、$x^2 = u - 1$ となります。

したがって、$x^3 dx = x^2 \cdot x dx = (u-1) \frac{1}{2} du$

与えられた積分は以下のようになります。

$\int \frac{x^3}{(x^2+1)^2} dx = \int \frac{u-1}{u^2} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{u-1}{u^2} du$

$= \frac{1}{2} \int (\frac{u}{u^2} - \frac{1}{u^2}) du = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{u} - u^{-2}) du$

$= \frac{1}{2} (\int \frac{1}{u} du - \int u^{-2} du) = \frac{1}{2} (\ln|u| - \frac{u^{-1}}{-1}) + C$

$= \frac{1}{2} (\ln|u| + \frac{1}{u}) + C$

$u = x^2+1$ を代入します。$x^2+1$ は常に正なので絶対値を外すことができます。

$= \frac{1}{2} (\ln(x^2+1) + \frac{1}{x^2+1}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} (\ln(x^2+1) + \frac{1}{x^2+1}) + C$

## 問題1 (3)

1. 問題の内容

$\int \sin x \cos^4 x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = \cos x$ と置換します。すると $du = -\sin x dx$ となります。

与えられた積分は以下のようになります。

$\int \sin x \cos^4 x dx = \int u^4 (-\,du) = - \int u^4 du$

$= - \frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^5 x}{5} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{\cos^5 x}{5} + C$

## 問題1 (4)

1. 問題の内容

$\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であることを用いると、積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} dx = \int \tan^2 x \sec^2 x dx$

ここで、$u = \tan x$ と置換すると、$du = \sec^2 x dx$ となります。

$\int \tan^2 x \sec^2 x dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C$

$= \frac{\tan^3 x}{3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{\tan^3 x}{3} + C$

## 問題1 (5)

1. 問題の内容

$\int \frac{e^{2x}}{(e^x+3)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = e^x + 3$ と置換します。すると、$du = e^x dx$ となり、$e^x = u-3$ となります。したがって、$e^{2x} = (u-3)^2$ となります。

$e^{2x} dx = e^x \cdot e^x dx = (u-3)du$ とはならないことに注意してください．

$\int \frac{e^{2x}}{(e^x+3)^2} dx = \int \frac{e^x \cdot e^x}{(e^x+3)^2} dx = \int \frac{u-3}{u^2} du$

しかし、上記置換では積分は簡単になりません。部分分数分解を試みます。

$\frac{e^{2x}}{(e^x+3)^2} = \frac{A}{e^x+3} + \frac{B}{(e^x+3)^2}$

$e^{2x} = A(e^x+3) + B = A e^x + 3A + B$.

これはうまくいかないため，部分積分を行うことを考えます．

別のやり方として、$u = e^x$ とおくと、$du = e^x dx$、$dx = \frac{du}{u}$ となるので，

$\int \frac{e^{2x}}{(e^x+3)^2} dx = \int \frac{u^2}{(u+3)^2} \frac{du}{u} = \int \frac{u}{(u+3)^2} du$.

さらに $v = u+3$ とおくと $u = v-3$, $du=dv$.

$\int \frac{v-3}{v^2} dv = \int \frac{1}{v} - \frac{3}{v^2} dv = \ln |v| + \frac{3}{v} + C = \ln (e^x+3) + \frac{3}{e^x+3} + C$

3. 最終的な答え

$\ln (e^x+3) + \frac{3}{e^x+3} + C$

## 問題1 (6)

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{x \log x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = \log x$ と置換します。すると $du = \frac{1}{x} dx$ となります。

$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|\log x| + C$

3. 最終的な答え

$\ln|\log x| + C$