(1) $\theta$ が第4象限の角で、$\cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。 (2) $\theta$ が第3象限の角で、$\sin \theta = -\frac{5}{13}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) $\theta$ が第4象限の角で、$\cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

(2) $\theta$ が第3象限の角で、$\sin \theta = -\frac{5}{13}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\theta$ は第4象限の角なので、$\sin \theta < 0$ であるから、

$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$

(2)

三角関数の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて $\cos \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}$

$\theta$ は第3象限の角なので、$\cos \theta < 0$ であるから、

$\cos \theta = -\frac{12}{13}$

次に、$\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan \theta = -2\sqrt{2}$

(2) $\cos \theta = -\frac{12}{13}$, $\tan \theta = \frac{5}{12}$