右図において、直線 $l$ は関数 $y = ax$ のグラフ、曲線 $m$ は関数 $y = \frac{18}{x}$ ($x > 0$) のグラフである。点Aは直線 $l$ と曲線 $m$ の交点で、その $x$ 座標は3である。点Bは直線 $l$ 上の点で、その $x$ 座標は9である。点Cは曲線 $m$ 上の点で、その $x$ 座標は9である。このとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) 曲線 $m$ 上にあり、$x$ 座標、$y$ 座標がともに自然数である点の個数を求めよ。 (3) $\triangle OAC$ の面積を求めよ。

1. 問題の内容

右図において、直線 $l$ は関数 $y = ax$ のグラフ、曲線 $m$ は関数 $y = \frac{18}{x}$ ($x > 0$) のグラフである。点Aは直線 $l$ と曲線 $m$ の交点で、その $x$ 座標は3である。点Bは直線 $l$ 上の点で、その $x$ 座標は9である。点Cは曲線 $m$ 上の点で、その $x$ 座標は9である。このとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 曲線 $m$ 上にあり、$x$ 座標、$y$ 座標がともに自然数である点の個数を求めよ。

(3) $\triangle OAC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aは $y = ax$ と $y = \frac{18}{x}$ の交点であり、$x = 3$ である。

$y = \frac{18}{3} = 6$ より、点Aの座標は $(3, 6)$ である。

点Aは $y = ax$ 上にあるので、$6 = 3a$ が成り立つ。

よって、$a = 2$ である。

(2) 曲線 $m$ の式は $y = \frac{18}{x}$ である。$x$ と $y$ がともに自然数であるためには、$x$ は18の約数でなければならない。

18の約数は 1, 2, 3, 6, 9, 18 である。

したがって、曲線 $m$ 上にあり、$x$ 座標、$y$ 座標がともに自然数である点は (1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1) の6個である。

(3) 点Aの座標は $(3, 6)$ であり、点Cは曲線 $m$ 上にあり、$x = 9$ であるから、$y = \frac{18}{9} = 2$ より、点Cの座標は $(9, 2)$ である。

$\triangle OAC$ の面積を求める。点Aから $x$ 軸に下ろした垂線の足をA'、点Cから $x$ 軸に下ろした垂線の足をC'とする。

$\triangle OAC$ の面積は、台形 $A'C'CO$ の面積から $\triangle OAA'$ の面積を引いたものとして計算できる。

台形 $A'C'CO$ の面積は $\frac{1}{2} (6 + 2) (9 - 3) = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ である。

$\triangle OAA'$ の面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9$ である。

したがって、$\triangle OAC$ の面積は $24 - 9 = 15$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) 6個

(3) 15