(1) $R^n$の中の点の集まり（図形）$X$が線形性を持つことの定義を述べる。 (2) $R^2$の中の曲線 $y=x^2$ が線形性を持たないことを示す。 (3) 4次元ベクトル $a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ の張る空間 $L = L(a, b)$ とはどのような点の集まりか、定義を述べる。 (4) 上の空間 $L$ が線形性をもつことを示す。

1. 問題の内容

(1) $R^n$の中の点の集まり（図形）$X$が線形性を持つことの定義を述べる。

(2) $R^2$の中の曲線 $y=x^2$ が線形性を持たないことを示す。

(3) 4次元ベクトル

$a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

の張る空間 $L = L(a, b)$ とはどのような点の集まりか、定義を述べる。

(4) 上の空間 $L$ が線形性をもつことを示す。

2. 解き方の手順

(1) $R^n$の部分集合$X$が線形性を持つとは、$X$が部分空間であることである。すなわち、

(i) $X$は零ベクトルを含む。

(ii) $x, y \in X$ ならば $x + y \in X$

(iii) $x \in X, c \in R$ ならば $cx \in X$

が成り立つことである。

(2) $R^2$の中の曲線 $y = x^2$ が線形性を持たないことを示す。

$y = x^2$ 上の点 $(1, 1)$ を考える。もしこの曲線が線形性を持つならば、スカラー倍もその曲線上に存在しなければならない。

例えば、$2(1, 1) = (2, 2)$ が $y = x^2$ 上にあるかどうかを調べる。

$x = 2$ のとき、$y = x^2 = 2^2 = 4$ であるので、$(2, 4)$ が $y = x^2$ 上の点である。

$(2, 2) \neq (2, 4)$ であるので、$(2, 2)$ は $y = x^2$ 上の点ではない。

したがって、$y = x^2$ は線形性を持たない。

原点を通るので条件(i)は満たす。

しかし、$(1,1), (2,4)$ は $y = x^2$ 上の点だが、$(1,1) + (2,4) = (3,5)$ は $y = x^2$ 上の点ではない。 $3^2 = 9 \neq 5$ なので。

したがって、$y = x^2$ は線形性を持たない。

(3) 4次元ベクトル

$a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

の張る空間 $L = L(a, b)$ とは、$a$と$b$の線形結合全体である。

すなわち、

$L = \{ca + db | c, d \in R \} = \{ c \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} | c, d \in R \}$

$= \{ \begin{pmatrix} 2c - d \\ c \\ 2d \\ c + 2d \end{pmatrix} | c, d \in R \}$

(4) 上の空間 $L$ が線形性をもつことを示す。

$L = \{ca + db | c, d \in R \}$ が部分空間であることを示す。

(i) 零ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ は $0a + 0b$ で表現できるので、$L$ に含まれる。

(ii) $x, y \in L$ とする。

$x = c_1a + d_1b$

$y = c_2a + d_2b$

$x + y = (c_1a + d_1b) + (c_2a + d_2b) = (c_1 + c_2)a + (d_1 + d_2)b$

$c_1 + c_2 \in R, d_1 + d_2 \in R$ であるので、$x + y \in L$

(iii) $x \in L, k \in R$ とする。

$x = ca + db$

$kx = k(ca + db) = (kc)a + (kd)b$

$kc \in R, kd \in R$ であるので、$kx \in L$

以上より、$L$ は線形性を持つ。

3. 最終的な答え

(1) $R^n$ の部分集合 $X$ が線形性を持つとは、$X$ が部分空間であること。すなわち、

(i) $X$ は零ベクトルを含む。

(ii) $x, y \in X$ ならば $x + y \in X$

(iii) $x \in X, c \in R$ ならば $cx \in X$

が成り立つことである。

(2) $y = x^2$ は線形性を持たない。

(3) $L = \{ \begin{pmatrix} 2c - d \\ c \\ 2d \\ c + 2d \end{pmatrix} | c, d \in R \}$

(4) 上記参照。