曲線 $x^2 - 2y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $x^2 - 2y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + k$ が異なる2点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線の方程式と直線の方程式を連立させて、$x$ の二次方程式を作ります。

$x^2 - 2(2x+k)^2 = 2$

$x^2 - 2(4x^2 + 4xk + k^2) = 2$

$x^2 - 8x^2 - 8xk - 2k^2 = 2$

$-7x^2 - 8xk - 2k^2 - 2 = 0$

$7x^2 + 8xk + 2k^2 + 2 = 0$

曲線と直線が異なる2点で交わるためには、この二次方程式が異なる2つの実数解を持つ必要があります。そのため、判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = (8k)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (2k^2 + 2) > 0$

$64k^2 - 28(2k^2 + 2) > 0$

$64k^2 - 56k^2 - 56 > 0$

$8k^2 - 56 > 0$

$8k^2 > 56$

$k^2 > 7$

$k < -\sqrt{7}$ または $k > \sqrt{7}$

したがって、$k$ の値の範囲は $k < -\sqrt{7}$ または $k > \sqrt{7}$ となります。

3. 最終的な答え

$k < -\sqrt{7}$, $k > \sqrt{7}$