双曲線 $x^2 - 2y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + k$ が異なる2点で交わるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

双曲線 $x^2 - 2y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + k$ が異なる2点で交わるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

双曲線 $x^2 - 2y^2 = 2$ と直線 $y = 2x + k$ の交点を求めるため、$y = 2x + k$ を $x^2 - 2y^2 = 2$ に代入します。

$x^2 - 2(2x + k)^2 = 2$

$x^2 - 2(4x^2 + 4xk + k^2) = 2$

$x^2 - 8x^2 - 8xk - 2k^2 = 2$

$-7x^2 - 8xk - 2k^2 - 2 = 0$

$7x^2 + 8xk + 2k^2 + 2 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

$D = (8k)^2 - 4(7)(2k^2 + 2) = 64k^2 - 28(2k^2 + 2) = 64k^2 - 56k^2 - 56 = 8k^2 - 56$

$D > 0$ より

$8k^2 - 56 > 0$

$8k^2 > 56$

$k^2 > 7$

$k < -\sqrt{7}$ または $k > \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$k < -\sqrt{7}$, $k > \sqrt{7}$