数列の一般項を求める問題です。与えられた数列は以下の2つです。 (1) 2, 2, 3, 6, 12, 22, ... (2) 1, 2, 4, 9, 19, 36, ...

1. 問題の内容

数列の一般項を求める問題です。与えられた数列は以下の2つです。

(1) 2, 2, 3, 6, 12, 22, ...

(2) 1, 2, 4, 9, 19, 36, ...

2. 解き方の手順

(1) の数列を $a_n$ とします。階差数列を $b_n = a_{n+1} - a_n$ とすると、

$b_1 = 2-2 = 0$, $b_2 = 3-2 = 1$, $b_3 = 6-3 = 3$, $b_4 = 12-6 = 6$, $b_5 = 22-12 = 10$ となります。

さらに階差数列の階差数列を $c_n = b_{n+1} - b_n$ とすると、

$c_1 = 1-0 = 1$, $c_2 = 3-1 = 2$, $c_3 = 6-3 = 3$, $c_4 = 10-6 = 4$ となります。

$c_n = n$ と予想できます。したがって、$b_n$ の一般項は

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} c_k = 0 + \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ となります。

すると、$a_n$ の一般項は

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k(k-1)}{2} = 2 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - k) = 2 + \frac{1}{2} \left( \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2} \right)$

$a_n = 2 + \frac{1}{2} \left( \frac{(n-1)n(2n-1) - 3(n-1)n}{6} \right) = 2 + \frac{(n-1)n(2n-1-3)}{12} = 2 + \frac{(n-1)n(2n-4)}{12} = 2 + \frac{(n-1)n(n-2)}{6}$

$a_n = 2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{12 + n(n^2 - 3n + 2)}{6} = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n + 12}{6}$

(2) の数列を $d_n$ とします。階差数列を $e_n = d_{n+1} - d_n$ とすると、

$e_1 = 2-1 = 1$, $e_2 = 4-2 = 2$, $e_3 = 9-4 = 5$, $e_4 = 19-9 = 10$, $e_5 = 36-19 = 17$ となります。

さらに階差数列の階差数列を $f_n = e_{n+1} - e_n$ とすると、

$f_1 = 2-1 = 1$, $f_2 = 5-2 = 3$, $f_3 = 10-5 = 5$, $f_4 = 17-10 = 7$ となります。

$f_n = 2n-1$ と予想できます。したがって、$e_n$ の一般項は

$e_n = e_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 2 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + n(n-1) - (n-1) = 1 + (n-1)(n-1) = (n-1)^2 + 1 = n^2 - 2n + 2$ となります。

すると、$d_n$ の一般項は

$d_n = d_1 + \sum_{k=1}^{n-1} e_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 2k + 2) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - 2 \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1)$

$d_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - (n-1)n + 2(n-1) = 1 + \frac{n-1}{6} [ n(2n-1) - 6n + 12 ] = 1 + \frac{n-1}{6} [ 2n^2 - 7n + 12] = 1 + \frac{2n^3 - 9n^2 + 19n - 12}{6}$

$d_n = \frac{6 + 2n^3 - 9n^2 + 19n - 12}{6} = \frac{2n^3 - 9n^2 + 19n - 6}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n^3 - 3n^2 + 2n + 12}{6}$

(2) $d_n = \frac{2n^3 - 9n^2 + 19n - 6}{6}$