自然数 $n$ に対して、以下の2つの等式を数学的帰納法を用いて証明する。 (1) $1 + 5 + 9 + \cdots + (4n - 3) = n(2n - 1)$ (2) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n - 1)^2 = \frac{1}{3}n(2n - 1)(2n + 1)$

## 問題の回答

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、以下の2つの等式を数学的帰納法を用いて証明する。

(1) $1 + 5 + 9 + \cdots + (4n - 3) = n(2n - 1)$

(2) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n - 1)^2 = \frac{1}{3}n(2n - 1)(2n + 1)$

2. 解き方の手順

**(1) $1 + 5 + 9 + \cdots + (4n - 3) = n(2n - 1)$ の証明**

(i) $n = 1$ のとき

左辺: $1$

右辺: $1(2(1) - 1) = 1$

よって、$n = 1$ のとき等式は成り立つ。

(ii) $n = k$ のとき等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1 + 5 + 9 + \cdots + (4k - 3) = k(2k - 1)$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n = k + 1$ のときを考える。

$1 + 5 + 9 + \cdots + (4k - 3) + (4(k + 1) - 3)$

$= k(2k - 1) + (4(k + 1) - 3)$ (帰納法の仮定より)

$= 2k^2 - k + 4k + 4 - 3$

$= 2k^2 + 3k + 1$

$= (k + 1)(2k + 1)$

$= (k + 1)(2(k + 1) - 1)$

よって、$n = k + 1$ のときも等式は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して等式は成り立つ。

**(2) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n - 1)^2 = \frac{1}{3}n(2n - 1)(2n + 1)$ の証明**

(i) $n = 1$ のとき

左辺: $1^2 = 1$

右辺: $\frac{1}{3}(1)(2(1) - 1)(2(1) + 1) = \frac{1}{3}(1)(1)(3) = 1$

よって、$n = 1$ のとき等式は成り立つ。

(ii) $n = k$ のとき等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k - 1)^2 = \frac{1}{3}k(2k - 1)(2k + 1)$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n = k + 1$ のときを考える。

$1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k - 1)^2 + (2(k + 1) - 1)^2$

$= \frac{1}{3}k(2k - 1)(2k + 1) + (2(k + 1) - 1)^2$ (帰納法の仮定より)

$= \frac{1}{3}k(2k - 1)(2k + 1) + (2k + 1)^2$

$= \frac{1}{3}k(4k^2 - 1) + (4k^2 + 4k + 1)$

$= \frac{1}{3}(4k^3 - k) + (4k^2 + 4k + 1)$

$= \frac{1}{3}(4k^3 - k + 12k^2 + 12k + 3)$

$= \frac{1}{3}(4k^3 + 12k^2 + 11k + 3)$

ここで、$\frac{1}{3}(k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)$ を計算する。

$\frac{1}{3}(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)$

$= \frac{1}{3}(k + 1)(4k^2 + 8k + 3)$

$= \frac{1}{3}(4k^3 + 8k^2 + 3k + 4k^2 + 8k + 3)$

$= \frac{1}{3}(4k^3 + 12k^2 + 11k + 3)$

よって、$1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k - 1)^2 + (2(k + 1) - 1)^2 = \frac{1}{3}(k + 1)(2(k + 1) - 1)(2(k + 1) + 1)$ となり、$n = k + 1$ のときも等式は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $1 + 5 + 9 + \cdots + (4n - 3) = n(2n - 1)$ は、すべての自然数 $n$ に対して成り立つ。

(2) $1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n - 1)^2 = \frac{1}{3}n(2n - 1)(2n + 1)$ は、すべての自然数 $n$ に対して成り立つ。