多項式 $P(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$ が与えられています。 $P(x)$ が $x-1$ で割り切れ、$x+3$ で割ると余りが $-8$ になるように、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b$ が与えられています。

$P(x)$ が $x-1$ で割り切れ、$x+3$ で割ると余りが $-8$ になるように、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ が $x-1$ で割り切れるので、剰余の定理より $P(1) = 0$ が成り立ちます。

$x=1$ を代入すると、

$P(1) = 1^3 - 3(1)^2 + a(1) + b = 1 - 3 + a + b = 0$

$a + b = 2$ ... (1)

(2) $P(x)$ を $x+3$ で割ると余りが $-8$ なので、剰余の定理より $P(-3) = -8$ が成り立ちます。

$x=-3$ を代入すると、

$P(-3) = (-3)^3 - 3(-3)^2 + a(-3) + b = -27 - 27 - 3a + b = -8$

$-3a + b = 46$ ... (2)

(3) (1)と(2)の連立方程式を解きます。

(2) - (1) より、

$(-3a + b) - (a + b) = 46 - 2$

$-4a = 44$

$a = -11$

(4) $a = -11$ を (1) に代入すると、

$-11 + b = 2$

$b = 13$

3. 最終的な答え

$a = -11$

$b = 13$