$x \to \infty$ のとき、$ \sqrt{4x^2+ax} $ は $2x$ に漸近するため、与えられた式 $\frac{ax}{2x+bx}$ は $\frac{a}{2+b}$ に漸近する。極限が存在するためには、$2+b \neq 0$ である必要があり、分母が正である必要がある。

1. 問題の内容

$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{4x^2+ax}$ は $2x$ に漸近するため、与えられた式 $\frac{ax}{2x+bx}$ は $\frac{a}{2+b}$ に漸近する。極限が存在するためには、$2+b \neq 0$ である必要があり、分母が正である必要がある。

2. 解き方の手順

問題文から、以下の情報が与えられている。

- $x \to \infty$ のとき、$\sqrt{4x^2+ax} \approx 2x$

- $\lim_{x \to \infty} \frac{ax}{2x+bx} = \frac{a}{2+b}$

- 極限が存在するためには、$2+b \neq 0$ が必要

- 分母が正である必要がある

$\frac{ax}{2x+bx}$ の極限を求める。

$x$ で分子と分母を割ると、

$\frac{ax}{2x+bx} = \frac{a}{2/x+b}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{ax}{2x+bx} = \frac{a}{0+b} = \frac{a}{b}$

問題文にある$\lim_{x \to \infty} \frac{ax}{2x+bx} = \frac{a}{2+b}$ は明らかに間違っている。

ただし、$2+b \neq 0$ が必要という条件は、$\frac{a}{2+b}$ が有限の値を持つために必要である。

3. 最終的な答え

問題文に提示された漸近式 $\frac{a}{2+b}$ は正しくない。しかし、極限が存在するためには、$2+b \neq 0$ である必要がある。分母が正である必要があるとは、この問題文だけでは結論付けることができない。