関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3$ について、$0 \le x \le 4$ における最小値を $m(a)$ とする。$m(a)$ を $a$ の式で表す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3$ について、$0 \le x \le 4$ における最小値を $m(a)$ とする。$m(a)$ を $a$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3 = (x - a)^2 - a^2 + 2a + 3$

軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 4$ なので、以下の3つの場合に分けて考えます。

(i) $a < 0$ のとき：

このとき、定義域内で $f(x)$ は単調減少なので、$x = 0$ で最小値をとります。

$m(a) = f(0) = 0^2 - 2a(0) + 2a + 3 = 2a + 3$

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき：

このとき、頂点で最小値をとります。

$m(a) = f(a) = (a - a)^2 - a^2 + 2a + 3 = -a^2 + 2a + 3$

(iii) $a > 4$ のとき：

このとき、定義域内で $f(x)$ は単調増加なので、$x = 4$ で最小値をとります。

$m(a) = f(4) = 4^2 - 2a(4) + 2a + 3 = 16 - 8a + 2a + 3 = -6a + 19$

したがって、

$m(a) = \begin{cases} 2a + 3 & (a < 0) \\ -a^2 + 2a + 3 & (0 \le a \le 4) \\ -6a + 19 & (a > 4) \end{cases}$

3. 最終的な答え

$m(a) = \begin{cases} 2a + 3 & (a < 0) \\ -a^2 + 2a + 3 & (0 \le a \le 4) \\ -6a + 19 & (a > 4) \end{cases}$