与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $A$ が対角化できないことを示してください。 (2) 正則行列 $P$ をうまく選び、$P^{-1}AP$ をジョルダン標準形にしてください。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $A$ が対角化できないことを示してください。

(2) 正則行列 $P$ をうまく選び、$P^{-1}AP$ をジョルダン標準形にしてください。

2. 解き方の手順

(1) $A$ が対角化可能かどうかを判定するには、$A$ の固有値を求め、各固有値に対応する固有空間の次元を調べる必要があります。

まず、$A$ の固有方程式を計算します。

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ -1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = -\lambda(2-\lambda) - (1)(-1) = \lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda - 1)^2 = 0$

したがって、$A$ の固有値は $\lambda = 1$ （重複度2）です。

次に、固有値 $\lambda = 1$ に対応する固有空間を求めます。

$(A - I)v = 0$ を満たすベクトル $v$ を探します。

$A - I = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

$(A - I)v = 0$ は $-x + y = 0$ という方程式に対応します。

したがって、$y = x$ となります。

固有ベクトルは $v = \begin{bmatrix} x \\ x \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と書けます。

固有空間の次元は1です。

固有値1の重複度が2であるのに対し、固有空間の次元が1であるため、$A$ は対角化できません。

(2) $A$ のジョルダン標準形を求めるために、正則行列 $P$ を見つけます。

固有値 $\lambda = 1$ に対応する一般固有ベクトル $w$ を求めます。

$(A - I)w = v$ となるベクトル $w$ を探します。ここで、$v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ は固有ベクトルです。

$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$-x + y = 1$ となる $x, y$ を求めます。

例えば、$x = 0$ とすると、$y = 1$ となります。

したがって、$w = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ を一般固有ベクトルとすることができます。

$P$ を、$P = \begin{bmatrix} v & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ と定義します。

$P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ となります。

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、ジョルダン標準形は $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $A$ は対角化できない。

(2) $P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ となり、これがジョルダン標準形である。