定数 $a$ を含む関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ ($0 \le x \le 2$) について、最小値と最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ を含む関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ ($0 \le x \le 2$) について、最小値と最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 最小値を求める

まず、関数を平方完成します。

$y = 3x^2 - 6ax + 2 = 3(x^2 - 2ax) + 2 = 3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2 = 3((x - a)^2 - a^2) + 2 = 3(x - a)^2 - 3a^2 + 2$

したがって、$y = 3(x - a)^2 - 3a^2 + 2$となります。

軸は $x = a$ です。定義域は $0 \le x \le 2$ です。

場合分けをして考えます。

(i) $a < 0$ のとき

定義域内で $x$ が増加すると $y$ も増加するため、$x = 0$ で最小値をとります。

最小値は $y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

$x = a$ で最小値をとります。

最小値は $y = 3(a - a)^2 - 3a^2 + 2 = -3a^2 + 2$

(iii) $a > 2$ のとき

定義域内で $x$ が増加すると $y$ は減少するため、$x = 2$ で最小値をとります。

最小値は $y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = -12a + 14$

まとめると、最小値は

$a < 0$ のとき、$2$

$0 \le a \le 2$ のとき、$-3a^2 + 2$

$a > 2$ のとき、$-12a + 14$

(2) 最大値を求める

最大値は軸から最も遠い $x$ の値で取ります。

(i) $a \le 1$ のとき、 $x = 2$ で最大値を取ります。

$y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = 14 - 12a$

(ii) $a > 1$ のとき、 $x = 0$ で最大値を取ります。

$y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

まとめると、最大値は

$a \le 1$ のとき、$14 - 12a$

$a > 1$ のとき、$2$

3. 最終的な答え

(1) 最小値

$a < 0$ のとき、$2$

$0 \le a \le 2$ のとき、$-3a^2 + 2$

$a > 2$ のとき、$-12a + 14$

(2) 最大値

$a \le 1$ のとき、$14 - 12a$

$a > 1$ のとき、$2$