$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1)$ を計算するために、シグマの性質を利用して、式を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (6k^2 - 1) = \sum_{k=1}^{n} 6k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、定数倍のシグマの性質を利用して、定数をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 6k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1 = 6\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を用いて、

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 1 = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n$

$= n(n+1)(2n+1) - n$

$= n(2n^2 + 3n + 1) - n$

$= 2n^3 + 3n^2 + n - n$

$= 2n^3 + 3n^2$

$= n^2(2n + 3)$

3. 最終的な答え

$n^2(2n + 3)$