与えられた行列の等式 $\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+b^2 & bc & ac \\ bc & a^2+c^2 & ab \\ ac & ab & b^2+c^2 \end{bmatrix}$ が成り立つことを確認し、この等式を用いて、行列式 $ \begin{vmatrix} a^2+b^2 & bc & ac \\ bc & a^2+c^2 & ab \\ ac & ab & b^2+c^2 \end{vmatrix} $ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列の等式

$\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+b^2 & bc & ac \\ bc & a^2+c^2 & ab \\ ac & ab & b^2+c^2 \end{bmatrix}$

が成り立つことを確認し、この等式を用いて、行列式

$\begin{vmatrix} a^2+b^2 & bc & ac \\ bc & a^2+c^2 & ab \\ ac & ab & b^2+c^2 \end{vmatrix}$

を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列の等式が成り立つことを確認する。

左辺の行列の積を計算すると、

$\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+b^2 & 0+0+bc & 0+ac+0 \\ 0+0+bc & a^2+0+c^2 & ab+0+0 \\ 0+ac+0 & ab+0+0 & b^2+c^2+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+b^2 & bc & ac \\ bc & a^2+c^2 & ab \\ ac & ab & b^2+c^2 \end{bmatrix}$

となり、右辺と一致する。

次に、この等式を用いて、与えられた行列式を計算する。

行列式の性質より、行列の積の行列式は、行列式の積に等しい。すなわち、

$det(AB) = det(A) det(B)$

である。

したがって、

$\begin{vmatrix} a^2+b^2 & bc & ac \\ bc & a^2+c^2 & ab \\ ac & ab & b^2+c^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{vmatrix} = \left( \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{vmatrix} \right)^2$

である。

ここで、

$\begin{vmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{vmatrix} = 0\begin{vmatrix} 0 & c \\ c & 0 \end{vmatrix} - a \begin{vmatrix} a & c \\ b & 0 \end{vmatrix} + b \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & c \end{vmatrix} = 0 - a(0-bc) + b(ac-0) = abc + abc = 2abc$

よって、

$\left( \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ a & 0 & c \\ b & c & 0 \end{vmatrix} \right)^2 = (2abc)^2 = 4a^2b^2c^2$

3. 最終的な答え

$4a^2b^2c^2$